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一可能的原因是，我们所不知道的替代方案必须被认为是有同等可能性的。但这个原则是荒谬的。按照这个原则，列举不同可能性有无限多种方式，都会产生不同的结果。如果有方法列举可能性，并使它们都相等，那也绝不是用这种方法，而是如下方案：假设我们有一个巨大的仓库，黑球和白球混在一起；并且假设每个缸内的球数都是固定的，是从仓库里随机取出来的。仓库中白球的相对数量可以是任何值，比如。那么，第一个球是白色的缸就占，第一个球是黑色的缸占。在取出第一个球是白色的缸里，第二个球是白色的占；在第一个球是黑色的缸里，第二个球是白色的也占。于是，我们就可以得到一个分布表，w代表白色球，b代表黑色球。读者可以自行检验。
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第二组只有一个b，只有2行相同，第三组有4行相同，第四组有8行相同，第五组有16行相同，每次翻1倍。这是因为我们认为仓库中的黑球是白球的2倍。若我们假设是以10倍递增，就不是1、2、4、8、16，而是1、10、100、1000、10000。
另一种情况是，如果仓库中的黑白球数量相等，那么每组就会只有一行。现在假设从其中一个缸中抽出两个球，并且发现都是白球，下一个是白球的概率是多少？如果被抽出的两个是开始投入缸中的两个，那么下一个取出的是第三个投入的球，则无论前两个球是什么颜色，第三个是白球的概率相同。因为我们认为，只有相同比例的缸在前两个为白色白色、白色黑色、黑色白色和黑色黑色之后，第三个球才是白色。因此，在这种情况下，第三个球是白色的机会与前两个相同。但是，通过观察第84页上的分布表，读者可以看到，在每组中取出球和放入球的频率相同，因此抓球结果与放入顺序无关。因此，已经取出的球的颜色对其他球是白色或黑色的概率都没有影响。
现在，如果有方法来列举自然情况下的可能性，并使得每种可能性相同，那么显然应该使每组自然的元素排列或组合（也就是我们所假设的分布方式）的可能性相同，因此，似乎可以假设任何这样的分布都是可能的，而这种假设只能得出一个结论，即从过去推断未来，经验绝对是毫无价值的。事实上，在你认为我们完全忽视的机会占到一半时，关于潮汐的问题在概率上与抛硬币的问题没有任何差别，一枚硬币（已知正反两面的可能性均等）成功正面朝上也可以有m次。简而言之，假设自然完全是杂乱无章的，或是独立因素的随机组合，那么就无法从一个事实推论出另一个事实；而且，正如我们后面会看到的那样，没有推理就不能从纯粹的观察中得出判断，这不啻假设人类的所有知识都是错误的，真知是不可能的。假设我们过去或多或少发现自然是有一定秩序的，这纯粹只是运气，而现在我们的运气已经用完了。现在，我们可能没有相反的证据，但是，若认为大部分问题都解决了、没有人会怀疑或能够质疑、对此否定的人会认为自己很愚蠢，那么推理也就毫无必要了。
我们有权谈论自然排列的各种相对概率，比如宇宙的数量是否和黑莓一样多；我们是否能把各个宇宙放到一个袋子里，充分摇匀，取出一个样本，检验每种排列的可能性分别是多少。但是，即使在这种情况下，我们还会被一个更广阔的宇宙包含在内，对于它来说，概率便没有用武之地了。
四
我们已经研究了概念论提出的问题。简而言之：给定一个综合性结论；我们的目标是，发现在任何指定范围内的所有可能情形中，有多少种是符合该结论的；并且我们已经发现，将综合性推理归约为分析性推理是荒谬的，没有任何确定的方法可以解决。
但是，与这个问题相关的另一个问题是这样的：给定若干事实，求与之相关的综合性推论有多大概率为真（允许一定的近似度）。现在，解决这个问题没有任何困难（除了算术比较复杂），并且已经得到了深入研究，答案是完全清晰的。难道这不是我们最想知道的吗？我们为什么要了解事实有多大概率符合我们的结论？这意味着，我们对所有可能的领域都感兴趣，而不仅仅是我们所处的领域。我们为什么不那么关心我们的结论有多大概率符合事实呢？原因就在于上面的两个问题。我还要问读者，如果人们不是在完全没有理解自己意思的情况下使用“概率”一词，而是使用“相对频率”一词，那么他们可能会看不到为了得到结论的概率，他们不应该带着分析法的思路去进行综合性的推断；恰恰相反，应该从事实出发，得出综合性的推断，然后再回到事实，检验推断是否与事实相符。
因为我们不能有一缸无限数量的球来代表大自然的无穷无尽，所以让我们假设一缸有限数量的球，每个球被抽出后又被抛回到缸里，这样也就模拟出无穷了。假设的球是白色的，其余都是黑色的，从中抽出4个球。然后，第84页上的分布表代表了取出球的不同方法的相对频率。可以看出，如果我们判断这4个球在缸中的比例，若抽取81次，有32次抽到这4个球，则比例为；若抽取81次，有24次抽到这4个球，则比例为；实际值是。把这个表格中的数字扩大到无穷大是相当费力的，但数学家已经发现了一些巧妙的方式来计算这些数字。经研究发现，如果白球的真实比例为P，取出球的数量是S，则通过归纳得到的比例误差分布如下。
这种算法可以举例说明。据1870年人口普查结果，本地一岁以下的白种人儿童中，男性比例为0.5082，而在其他肤色的同年龄段的儿童中，此比例仅为0.4977。比例差距为0.0105，即约每100人相差1人。这要归为偶然性？还是说在大量的白种人孩子与其他人种孩子中间，这种差别依然存在？此处的P可以取，所以2P（1-P）也是。白种人孩子的总数接近1，000，000，所以，我们需要把开平方，结果约为，再乘以0.477，约为0.0003。也就是说，通过归纳得到白种人男童比例的误差范围在0.0003以内。黑种人儿童数量约为150，000，误差范围在0.0008以内。于是，我们可以看到，实际的差距是两者误差范围之和（0.0003+0.0008）的10倍左右。根据第92页上的列表，从长期来看，如果是因为纯粹的统计误差，那么大概100亿次中才会出现一次。
请注意，当归纳探寻概率的实际值要么很大、要么很小时，推理就更有把握。因此，想象一下在现实中从一个装有100个球的容器里去抽取1个白球，抽取100次来做判断，得到的结果是，抽不到白球的概率是，抽到1个白球的概率是，抽到2个白球的概率是，抽到3个白球的概率是，抽到4个白球的概率是，抽到5个白球的概率是，以此类推。于是，我们几乎可以肯定，在这100个球里，最多只有1个白球。
因此，在一种意义上，我们能够判定综合推理的概率；在另一种意义上，我们做不到。我们来看下面这个推理。
100个克里特岛人中有99个是骗子；
埃庇米尼得斯是克里特岛人；
所以，埃庇米尼得斯是骗子。
我知道以上推理相当于100次中有99次是真相，但当我反向推理的话：我能想起来的，比如麦诺斯、萨尔珀冬、拉达曼提斯、杜卡里翁和埃庇米尼得斯都是克里特岛人，但这些都是大骗子，所以，大概所有克里特岛人都是骗子。我完全不知道类似的推理多久能给我带来真相。另一方面，我可以知道的是，有确切比例的克里特岛人是骗子，用五六个例子就能估算出个大概。即使这个推断差到了极点，也就是只有一半克里特岛人是骗子，那么误差最多也不过是。这些是我知道的。但是，在目前这个例子中，推断结果是所有克里特人都是骗子，它是真是假我就不大清楚了。
五
在18世纪末，伊曼努尔·康德问了这样一个问题：“先天综合判断何以可能？”他所说的“综合判断”，指的就是提出具体的事实，而不只是说明事物的呈现方式一类。简单来说，综合推理所产生的判断是分析推理无法产生的。他所指的“先天判断”，就好比所有外在对象都处于空间中、凡事必有因之类。在他看来，先天命题是不能从经验中推得的。他的这个问题几乎将当时流行的哲学体系涤荡殆尽，并且开启了一个新时代，而他的回答反倒没那么大威力。然而，在问那个问题之前，他应该问一个更为普遍的问题：“综合判断何以可能？”一个人如何能够看到一个事实，然后立刻说出他对于另一个事实的判断，并且不受第一个事实的影响？
我们已经看到了，这种推理————至少从它的日常意义来看————是没有确定的概率的，那么它又怎么能增益我们的知识呢？这是一个奇怪的悖论。艾比·格拉特里（Abbé Gratry）曾解释说这是一个奇迹，所有真实的归纳都来自上天的灵感。[36]与某些学究用三段论或其他什么东西把概率颠来倒去相比，我对这种解释倒是更有几分敬意。我之所以尊重它，是因为它看到了问题的深刻性，给出了一个恰当的理由，并且与一种普遍的宇宙论联系在一起————真正的解释都应该做到这一点。同时，我又不接受这样的解释，因为一个解释应该告知一件事是如何发生的，然而诉诸永恒的奇迹，似乎是放弃了一切这样做的希望，但又没有给出充分的根据。
如果把问题从先天综合判断扩展到所有综合判断，那么康德会如何作答呢？这是个有趣的问题。他的回答是：先天综合判断是可能的，因为一切普遍正确的事物都包含在经验的条件之中。让我们把它应用到一个普通的综合推理中。我从一袋子豆子中拿出一部分来，这些豆子都是紫色的。然后，我推断袋子里的豆子都是紫色的。我是怎么推断出来的？这是基于我的正确经验得出的结果，这是在经验的条件之中的（这里的豆子可能颜色各异）。这个个别经验的条件就是，所有这些豆子都是从那个袋子里拿出来的。按照康德的理论，所有对从袋子中取出来的豆子都成立的命题都要通过袋子内容物的特质来解释。这是一种关于推理原则的比较让人满意的陈述。
当我们得出一个演绎的（或者叫作“分析的”）结论时，我们的推理规则是：关于某种一般特征的事实，要么总是伴随着另一种一般特征，要么两者之间存在一个固定的比例。于是，我们从关于前一类特征的事实出发，推出后一类特征的某些确定会发生或者以一定比例发生的事实。但是，综合推理的原理就不一样了。当我们用一袋子豆子的时候，我们根本不假设一个事实，就是有些豆子是紫色的，这包含必然性，或者其他豆子也可能是紫色的可能性。相反，如果用概念论的方法来研究————其实相当于演绎的方法————得到的所谓的综合判断就是一半对一半，换言之，毫无价值。一颗豆子的颜色完全跟另一颗豆子没关系，但是综合推论是基于事实分类而建立的，不是通过特质，而是通过获取它们的方法。它的原则就是，通过一种已知的方式获得的一系列事实，或多或少会与通过同样方式获得的其他事实相似；或者说，条件相同的经验将呈现相同的一般特质。
在前一种方法中，我们知道的是，从前提能够得出真的结论，其中前提和结论在形式上是严格相似的，并且只需要做一次即可。在后一种方法中，前提和结论是在相似的情况下获得的（虽然前提和结论本身可能有很大的差别），这样也会产生真的结论，并且至少需要做一次推断。那么我们可以这样来表述，在分析推理中，我们知道结论的概率（如果前提真实），但在综合推理中，我们仅知道整个程序的可信赖程度。因为所有的知识都来自综合推理，我们必须同样推论出：人力所能达到的确定性的基础只在于一点，即我们用来得出知识的过程一般可以得出真实的结论。
虽然一种综合推理无论如何不能归约为演绎，但是，归纳法的长期有效性或许可以从一条原理中演绎而来，即通过充分的研究，最终得到的观点的目标一定是真实的。在不断探究的影响下，这种信念会逐渐倾向于自我修复。这种探究正是逻辑陈述的事实之一。