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一
我们知道，每一个论据都是从其所属的推理类别的一般真理中得出的，而概率就是这些论据在任意类别中依然为真理的比例。中世纪逻辑学家有一套命名系统正好适用于此。他们把前提表达的事实称为“前件”（antecedent），随之而来的推论称为“后件”（consequent），而从（几乎）每一个前件到后件的原则则被称为“推论”（consequence）。按照这套系统来说，概率完全属于“推论”，任何一个推论的概率等于前件和后件同时发生的次数除以前件发生的次数。由此定义可推导出概率的加法与乘法规则，如下所述。
概率的加法法则————已知两个具有相同前件但不相容后件的推论的概率，则两者之和即为“从同一前件得出两个后件之一”这个推论的概率。
概率的乘法法则————已知“如果A则B”及“如果A则C”这两个推论的概率，那么两者相乘的结果就是“如果A则B和C”这个推论的概率。
专门适用于乘法法则的概率独立规则————已知“如果A则B”及“如果A则C”这两个具有相同前件的推论的概率，又假设“如果A则C”的概率与“如果A和B则C”的概率相等，那么前两个推论的概率相乘等于“如果A则B和C”的概率。
我们可以通过计算掷骰子的概率来检验这些规则的有效性。比如，一次掷到6的概率为多少？这里的前件为“投掷一次骰子”，后件为“掷到6”，由于一枚骰子有6个面，每一面出现的频率都相等，即任意一面的概率为。假设投掷2枚骰子，掷到6的概率为多少？其中任何一个掷到6的概率与只投一个骰子掷到6的概率相等，即。而且，其中任意一个掷到6的概率和另外一个掷不掷得到6的概率无关，因此，这是一个独立概率事件。另外，根据我们的法则，这两个事件同时发生的概率就是各自概率相乘的结果，即×。那么掷到“一二”的概率是多少呢？第一个掷到1点，第二个掷到2点的概率和两次均掷到6的概率是相等的，即。同样，第一个掷到2点，第二个掷到1点的概率也是。这两个事件————第一次掷1点、第二次掷2点，以及第一次掷2点、第二次掷1点————是不相容的，因此在这里我们运用的是加法法则，也就是两次投掷得到一个1点、一个2点的概率为+，即。
以此方式，我们可以解决骰子之类的所有问题。如果骰子的点数非常大，数学（或可定义为通过分组提高运算速度的技艺）这一学科就能帮助我们解决很多困难。
二
将概率视为一种事实，即一种事件伴随另一种事件发生的实际比例，被维恩先生称为“实在论”。而与此同时，概念又常被认为是依附于命题存在的一种可信程度，维恩先生将其称为“概念论”。大多数作者将此两种观点混为一谈。他们一开始将某事件的概率作为我们相信这件事已经发生的原因，这是概念论的观点。然而，没过多久，他们又说这是有利的事例占总事例的实际比例，而且每一个事例发生的可能性都是一样的。除了把“发生概率相等”混同于“实际频率相等”，从而造成概念混淆以外，这算是一个勉强的唯物主义观点。德·摩根先生在他的《形式逻辑》（Formal Logic）一书中，曾清晰地阐述了纯粹的概念论。
这两种分析的巨大差异在于，概念论者认为概率是一种事件，而实在论者认为是某种类事件发生频率占该种类总属的比例，因此就有了两个定义。这种对立的体现如下所述。
假设我们有两种推理规则，适用于某一领域内所有的问题，第一条规则得出正确答案的概率为，不正确的概率为；第二条规则得出正确答案的概率为，不正确的概率为。假设这两条规则的成立与否互相独立。这就是说，对于任何一个问题，不管第一条规则是否得出正确答案，第二条规则答对的概率都是、答错的概率都是。那么在这两条规则适用的所有问题中：
两条都能答对的概率……的，即；第二条答对第一条答不对的概率……的，即；第二条答不对第一条答对的概率……的，即；两条都答不对的概率……的，即。
假设现在对于任何问题，两条规则都能给出一致的答案（都是是非题），那么两条答案一致的概率就相当于两条一起答对的概率加上两条一起答错的概率，也就是+。因此两条规则答案一致的情况下，两条都能答对的概率即为：
因此，这就是两条规则结果一致的情况下，两条规则都能得出正确结果的概率。我们正好可以借用另一种表达方式。概率是有利事例占总事例的比例。除了以此比例来表示结果，我们还可以借用另一种比例————有利事件占不利事件的比例。后者可以被称为事件的“机会”（chance）。那么第一种推理规则的机会比为，第二种推理规则的机会比为；以及当它们结果一致时，都得到正确结果的机会比为，也就是×，等于双方都答对的机会值的乘积。
可以看出，机会可以取任何值，一个双方拥有平等机会（即）的事件，其概率为。一个机会为1的论点无法用来加强其他论点，因为根据乘法规则，用它乘以任何概率还是原来的概率。
概率和机会无疑都归属于“推论”，是相对于特定前提的。尽管如此，我们也可以说某事件概率的绝对值，它的意思是，就目前所知而言，综合所有与它相关的事态得出的它发生的可能性。从这个意义上说，某事件的机会与我们对其的信念程度有非常密切的关系。信念不仅仅是一种单纯的感觉，也有一种相信的感觉，所有的论据都表明这种感觉会随着机会的变化而变化。因此，任何一个随着机会变化的量，都可以用来度量信念的强度大小。在众多数量中，有一种尤为适当。当我们遇到很大的机会时，信念的感觉应该是非常强烈的。凡人永远无法获得绝对的肯定和无限的机会，而这无限的信念正好说明了这一点。随着机会的减少，信念的感觉也会减弱，直到达到机会为1的情况，它就会完全消失，而不是越来越倾向或远离原命题。当机会减少时，相反地，会滋生一种坚定的信念，即机会越少，信念越强。当机会几乎消失时（但完全消失这种情况不太可能发生），这种坚定的信念会趋于无限强。现在，我们有一个对所有情况都非常合适的数量，就是机会的“对数”。然而，还有另外一个因素必须考虑，就是我们的信念应与证据的分量成正比。从这个意义上说，如果有两个完全独立且势均力敌的论据，那它们应该产生一种两者强度之和的信念。现在，我们已经知道，两个独立并存的论点需要将各自的机会相乘得到结合的机会，因此，最能表达信念强度的数量应该是，在机会的结合要通过对部分的机会做乘法得到时，同样可以对这个数量做加法得到。而现在，对数是满足此条件的唯一量。有一个普遍的感觉定律叫“费希纳心理物理定律”，指的是任何感觉的强度都与对它产生外力的对数成正比。因此，信念的感觉应该为机会的对数，这种感觉指的是产生信念的一种事实状态表达。
当测量信念强度时，两个独立并存的观点组合的原则非常简单，即把各个正面论据的信念感总和减去各个反面论据的信念感总和，余下的就是最后我们应该有的信念感。这是人们常常采取的办法，名为“权衡”。
上述因素就是支持概念论的理据。其核心在于，任何与事实相关论据的结合概率，必须与我们对此事实应有的信念程度密切相关。这一点往往也能得到其他观点的佐证，表明该理论与其他方面的认识是相一致的。
但是，无论概率是大是小，表达的都必须是事实。因此，这是一件需要证据的事情。那么，让我们来思考一下对概率的信念是如何形成的。假设我们现在有一袋豆子，偷偷地随机抽取其中一颗放在反扣的杯子下。我们现在要对这颗豆子的颜色做一个合理的猜测，办法是每次从袋子中抽取一颗豆子察看，然后放回去并搅混。假设第一次抽到的是白豆子，第二次是黑豆子，我们就可以得出结论，这两种颜色都没有绝对的巨大优势，而且，杯子下的豆子似乎有一半的可能是黑色的。但是这个判断有可能在接下来的几次抽取中被改变。当我们抽取的10次中有4次、5次或6次都是白豆子，那么就比较能确信这个猜测的概率是平均的。当我们抽取的1000次中几乎有一半是白豆子，就更能确信这一点了。现在，我们可以很肯定地说，如果我们对每一次被抽取的豆子颜色进行下注，那么从长远来看，猜白色是没有问题的。我们想要获得的信心就是这个，但是希望是在抽两次的时候就获得，而不是在抽了1000次以后。所以，概率的全部意义在于给我们提供一个长期的保障，并且因为这种保障不仅仅基于机会的大小，也取决于判断的准确性，我们不应该对所有机会均等的事件抱有同样的信念。简而言之，要合理地表达我们的信念，至少要有两个数字，第一个数字基于推测的概率，第二个取决于基于概率的了解程度。[34]确实，当我们对某事物了解得非常精确的时候，当我们已经从袋子中抽取许多次以后，这个表示概率的不确定性的数字可能就不再重要了，或者完全消失。然而，当我们对某事件的了解非常有限时，这个数字就可能比概率本身更重要。而当我们完全不了解时，这个数字就代表着一切。所以，如果说某个未知事件的机会是均等的，这没有任何意义（因为没有事实的表达没有任何意义），这时应该说现在的机会完全是模糊的，没有办法计算。因此我们认为，虽然概念论在某些情境下适用，但总体上是很不充分的。
假设我们从袋子中抽取的第一颗豆子为黑色，就会形成一个论据，即杯子下的豆子可能为黑色，无论这个概率有多小。如果第二颗豆子也是黑的，这就是另一个独立论据，且加强了前一论据的可信度。如果前20颗豆子都是黑色，那我们对杯子下豆子为黑色的信心就会大大加强。但如果第21颗豆子为白色，然后我们继续抽取，最后发现抽到了1010次黑豆子和990次白豆子，那我们应该得出的结论是，前20次都抽到黑豆子这一事件是一个很大的偶然，事实上白豆与黑豆的比例是相当的，并且被藏起来的豆子为黑色的可能性也是均等的。但是根据“权衡”原则，由于每一次抽到黑豆或白豆都是一个独立论据，虽然有这么多对于“被藏起来的豆子为黑色”这一判断的有利论据和不利论据，但多出来的20颗黑豆产生的信念程度应当与抽取总数无关。
在观念论观点中，这种完全的无知状态————判断不应倾向或偏离假说————会用的概率来表示。[35]
不过，如果我们假设我们现在完全不知道土星居民的头发颜色，我们拿一张渐变颜色表，它包含了所有可能的颜色，任意相邻两种颜色之间的差别是无法用肉眼识别的。现在划出一个封闭的区域，试问：根据概念论的原则，土星居民的发色属于这个区域的机会有多少？我们给出的答案不可能是“完全无法确定”，因为我们一定是怀着某种信念的；而事实上，持概念论观点的人也是不承认不确定的概率的。这个问题没有确定性，答案其实在0和1之间。这里没有给定的数值，所以数字必须由概率本身的性质决定，而不是由数据计算得出。因此，答案只能是一半，因为这个判断不能倾向或偏离假设本身。这个区域的机会和任意别的区域的机会一样，并且如果有第三个区域包含了这两个区域，情况也是一样的。否则，如果两个小区域的概率各为一半，那么包含两者的大区域的概率就至少为1了，这是荒谬的。
三
所有的推理可分为两种：①解释性推理，也叫演绎法或分析法；②扩充性推理，也叫综合法或归纳法（不很确切）。在解释性推理中，首先在前提中规定了某些事实。这些事实在每一种情况下都涵盖无尽的内容，但它们常常可以通过一些规律性的方式总结在一个简单的命题中。因此，在命题“苏格拉底是一个人”中，意味着（没有其他可能性）他一生中的每时每刻（或者你可以说，在他一生中的大部分时间）是一个人。他不可能有一瞬间是一棵树或一只狗；他没有流入水中，或一次出现在两个地方；你不可能像透过一张光学图像一样，把你的手指透过他的身体等。现在，我们有了一些事实，虽然我们得出这些规定时并没有把它整理成命题的目的，但是我们或许就能在其中发现某种规定；这样我们就可以将其部分或全部形成一个新的命题。如果不提出命题，它便可能被忽略。而这一命题就是分析性推理的结论。这些都属于数学论证方法。但综合性推理与之截然不同。在这种推理情况下，结论中总结出的事实并没有在前提中阐述出来。得出的事实也各不相同，比如人们若有m次看到了潮汐上涨，就会得出结论，下一次潮汐会上涨。这些是增加我们常识的唯一推论，当然其他的推论也可能有用。
在任何可能的问题中，我们给出了某些事件出现的相对频率，我们认为在这些事实中，就隐藏着另一个事件出现的相对频率。解法前面已经讲过了。因此，这只是解释性推理，而非综合性推理。综合性推理的结论是要超出给定前提的范围的。因此，要想通过这种方法来发现综合性推理中的概率是缘木求鱼。
大多数关于概率的论文都含有一个不同寻常的原则。例如，如果一个居住在地中海沿岸、从未听说过潮汐的原始人来到了比斯开湾，看到潮汐上涨m次，他就可以知道潮汐上涨的概率等于：
凯特勒在他的一本著作中强调了这一点，并将其作为归纳推理理论的基础。
但是，如果这个人从未见过潮汐，也就是说，给定m=0，此解决方案就不再成立。这样，下一次潮汐上涨的可能性就是。换句话说，解决方案涉及概念论的原则，即完全未知的事件的概率为一半对一半。其中包含的道理还可以由下面这个例子得出，即好几个缸里装着相同数量的球，部分为白色，部分为黑色。一个缸里都是白球；一个缸里有一个黑球，其余为白球；另一个缸里都是黑球，其余为白球；以此类推，黑球比例依次增加，直到缸里全是黑球。但是，在这种人为安排和自然概率之间进行类比唯一可能... -->>
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