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欽定四庫全書
九章録要卷六
松江屠文漪撰
少廣法
古九章四曰少廣以御積冪方員
開平方法 平方開除先列實視實有幾位〈凡實之大數從千起者四位從萬起者五位葢實尾雖止於十而無以下小數亦存一虚位止於百而無以下小數亦存兩虚位一定不可易也〉即知須幾開而盡〈凡經再開者開得平方大數從十起三開者百四開者千或實尾一開虚擬而未經開者即開得數終於十而無以下小數也〉率實兩位而一開逆從實尾向左數之〈尾在右也〉至實首則一位亦一開也其開之法有三曰方曰亷曰隅〈方法亦謂之商意中商量而定之也隅即次商三商而又自有隅法〉初開視實首位以起方法實首一位開者〈一位之實多不過九〉取三及以下數自乗兩位開者〈兩位之實少不下十一〉取三及以上數自乗所取以自乗之數初商也列實首之左〈亦有不列於左而即借實首位列之者説詳於後〉自乗所得數用以減實是為初開餘實須再開則用亷法亷法者倍前方法以之除實得次商相隨列初商之右即以次商為隅法自乗得數用減實訖〈於亷法下一位減之觀後假例自明〉是為再開自三開以後俱倣此
〈或問亷隅之義曰初開已成平方形矣再開欲增廣其前方則不必四邊俱加而但於兩邊各加一亷其長如前方之數亷有二故倍之也此未及亷之廣以除實得次商次商乃亷之廣數而所加二亷其長各如前方之數則二亷相?之一角猶缺一小平方其四邊皆與亷之廣等故又以次商為隅法而自乗以足之也〉
假如實一萬五千一百二十九列甲乙丙丁戊五位此須三度開而實首只甲一位開也甲數一則取一為初商列甲之左而以一自乗仍得一即於甲位去一此初開也再開倍前方一得二〈前方是一百倍之為二百而此且勿論也但謂之一謂之二可耳〉為亷法以二除乙之五〈乙丙兩位為再開之位而亷法當於乙位除隅法當於丙位除也〉則於乙減四存一於甲空位列二為次商而以隅二自乗得四於丙位減之則去乙之一加丙一為七此再開也三開倍前方一十二得二十四〈前方一下復有二則且謂之一十二矣不計其為一百二十也雖更多亦然〉為亷法先以二除丙之七〈丁戊兩位為三開之位則亷法當於丁位除而亷法有二十四即二當於丙位除四乃於丁位除也〉則於丙減六存一於乙空位列三為三商次以四與三相乗得一十二於丙丁兩位減之〈亷之四當於丁位除而與商乗得一十二即一又當於丙位除矣隅法亦然〉則並去丙之一丁之二又以隅三自乗得九於戊位減之適盡得方一百二十三
又如實四十五萬九千六百八十四列甲乙丙丁戊己六位此亦須三度開而實首乃甲乙兩位開也甲乙數四十五〈甲四乙五并而計之則曰四十五而不必問其為四十五萬也〉且取六為初商列甲之左而以六自乗得三十六於甲乙兩位減之則去甲之四加乙五為九此初開也再開倍六得一十二為亷法先以一除乙之九則於乙減七存二於甲空位列七為次商〈不用 者以八開之則實不足也〉次以二與七相乗得一十四於乙丙兩位減之則減乙二為一丙九為五又以隅七自乗得四十九於丙丁兩位減之則去丙之五加丁六為七此再開也三開倍六十七得一百三十四為亷法先以一除乙之一〈戊己兩位為三開之位則亷法之一當於丙位除而乙位當列三商矣今乙位有實則亦以除丙之法除之葢乙丙同除猶實首之兩位并開也除同而所以除不同假使乙位空而丙位有一則以亷一除丙當去丙之一而列一於乙為三商今以除乙之一則為見一無除改作九而下添一也三商在乙位自不可易耳〉則改乙一為九加丙空為一而其下實不足除即又減乙九為八為三商而加丙一為二〈乙之一丙之十也試列十於丙而以亷一除之與此同則除乙猶之除丙耳〉次以三與八相乗得二十四於丙丁兩位減之則去丙之二減丁七為三次以四與八相乗得三十二於丁戊兩位減之則去丁之三減戊八為六又以隅八自乗得六十四於戊己兩位減之適盡得方六百七十八
又如實六百七十六列甲乙丙三位此只須兩度開而實首係甲一位開也甲數六且取二為初商列甲左而以二自乗得四即於甲減四存二此初開也再開倍二得四為亷法以四除甲之二則改甲二為五又以四除乙之七則於乙減四存三於甲加一為六為次商〈此甲乙同除如前第二例第三開之乙丙同除也前例只是以亷一除丙之十此例只是以亷四除乙之二十七合觀二例其義益明〉乃以隅六自乗得三十六減乙丙實並盡得方二十六
開方得數審空位例假如實六十五萬四千四百八十一列甲乙丙丁戊己六位此須三度開而實首係甲乙兩位開也甲乙數六十五且取八為初商列甲左而以八自乗得六十四於甲乙兩位減之則去甲之六減乙五為一此初開也再開倍八得一十六為亷法先以一除乙之一而其下實不足除知再開值空位矣〈丙丁為再開之位則亷之六當於丙位除一當於乙位除而除得次商當在甲位今若去乙之一而列一於甲為次商即丙位無六可除此當為見一無除改作九而下添一然則商乃在乙位而甲位空矣可知無次商宜便接三開也〉三開倍八十得一百六十〈前方八下有空位則謂之八十也若更有空位亦遞進之〉為亷法仍先以一除乙之一〈戊己為三開之位則亷法當於戊位除而亷法有一百六十即六當於丁位除一當於丙位除今乙位有實又須以除丙之法除之葢除乙猶之除丙其説已詳前二例矣 三商自當在乙位也〉則改乙一為九為三商而加丙四為五次以六與九相乗得五十四於丙丁兩位減之則並去丙之五丁之四又以隅九自乗得八十一於戊己兩位減之適盡得方八百零九
開方初商列位法 凡初商列於實首位之左者為多而不盡然也須知實首兩位開而初商數不滿五者必當借實首甲位列之何也實首甲一位開則乙丙為次開之位而乙屬亷丙屬隅也亷法於乙位除即除得次商當在甲位而初商不得不列甲之左矣實首兩位開則丙丁為次開之位而丙屬亷丁屬隅也亷法於丙位除而初商係五倍之為十遇十進位乃當於乙位除即除得次商亦當在甲位而初商不得不列甲之左矣〈五以上更不必言〉若實首既以兩位開而初商係四倍之為八只當於丙位除然則除得次商當在乙位而初商當列甲位又何疑乎〈四以下更不必言〉且如實二千四百零一列甲乙丙丁四位當取四為初商而減甲乙實一十六則先去甲之二加乙四為八乃以初商四列甲位再開倍四得八為亷法以除乙之八則改乙八為九為次商加丙空為八而以隅九自乗得八十一減丙丁實並盡得方四十九倘以初商四列甲左竟似四百零九其誤甚矣葢開得商數中間應有空位與否信手布算即自然而見本不煩擬議也但審定初商位置則無空者不致誤而成空而以後俱任其自然之數可耳
又按右例若以初商列甲左次以亷八除乙之八或去乙之八列一於甲為次商而以隅一自乗減丁之一亦盡乃得方四十一豈非誤之尤甚者乎葢丙丁為次開之位而亷法止有八則當於丙位除除得次商當在乙位雖乙位有實而以除丙之法除乙然次商畢竟仍在乙位斷無進到甲位之理不辨於此且致大誤故詳論之而初商若便列在甲位亦自無此弊矣
開方餘實命分法 開方餘實僅及所開方數一倍以下則命分命分者倍方加一數以命之〈倍方者亷法加一數者隅法〉假如實五十五開得方七而餘實六即倍七又加一數得一十五以為母而以六為子命之曰一十五分之六并整為七零一十五分之六也
開方求零分密法 開方餘實欲除令盡即所得方數必帶零分而若以所命之分為方數試以自乗見積頗朒於原實則法猶疎也且如實二十開得方四而餘實四依命分法為九之四并整為四又九之四乃化整俱為零曰九之四十母子各自乗以見方積母得八十一〈此原實一之方積也葢一實而縱横俱分為九則其中應有方積八十一矣〉子得一千六百〈此總方積也〉以母積除子積歸整得實一十九又八十一之六十一則朒於原實八十一之二十當更有法以開之其法倍九之四十〈倍之為亷法也〉為九之八十以除朒八十一之二十得七百二十之二十約為三十六之一與前方九之四十相并得三百二十四之一千四百四十九約為三十六之一百六十一以母除子歸整得方四又三十六之一十七仍化整俱為零母子各自乗以見方積母得一千二百九十六子得二萬五千九百二十一以母積除子積歸整得實二十又一千二百九十六之一雖盈於原實一千二百九十六之一然比之朒於原實八十一之二十則其法已密矣
又法如實二十開得方四而餘實四但倍方為分母不復加隅而以餘實為子曰八之四約為二之一并整為四又二之一乃化整俱為零曰二之九母子各自乗以見方積母得四子得八十一以母積除子積歸整得實二十又四之一則盈於原實四之一亦更有法以開之其法倍二之九為一之九〈本欲倍其子而半其母則子自倍矣不須更用約法〉以除盈四之一得三十六之一與前方二之九相減〈此與前法正同而盈朒并減有辨葢前方朒於原實則以亷法除所朒之數而與之相并前方盈於原實則以亷法除所盈之數而與之相減也〉得七十二之三百二十二約為三十六之一百六十一以下各數並與前法同〈按二法所得數其歸正同葢偶同耳他處則往往小異也〉
右二法開方自乗得積並盈於原實一千二百九十六之一必欲除盡依法再開之以四又三十六之一十七復化為三十六之一百六十一倍之為一十八之一百六十一以除盈一千二百九十六之一得一萬一千五百九十二之一與前方三十六之一百六十一相減得四十一萬七千三百一十二之一百八十六萬六千二百七十六約為一萬一千五百九十二之五萬一千八百四十一以母除子歸整得方四又一萬一千五百九十二之五千四百七十三仍化整俱為零母子各自乗以見方積母得一億三千四百三十七萬四千四百六十四子得二十六億八千七百四十八萬九千二百八十一以母積除子積歸整得實二十又一億三千四百三十七萬四千四百六十四之一此則盈於原實為數甚微矣欲除盡依法再開
又法開方不盡實則增開數以求之凡增一開者化實之一為百而開得方數當十而一增二開者化實之一為萬而開得方數當百而一假如實二十四化為二千四百開之得四十九是為一十之四十九以母除子歸整得方四又一十之九仍化整俱為零自乗以見方積得一百之二千四百零一以母積除子積歸整得實二十四又一百之一乃盈於原實一百之一也或增二開三開者倣此
零分開方法 原實係整數而開之帶零分者前法已詳矣若原實先係零分而欲開方者法以母自開得數為母子自開得數為子其大端也如實九之四開得方三之二是已更有開得數復成零分乃須分别算之如實九之二十母開得三子開得四又九之四化為九之四十〈此只依命分之數聊示其法耳未及密率也〉此當用整除零分法以三乗九為母以四十為子得方二十七之四十也如實二十之九母開得九之四十子開得三此當用零分除整法以四十為母以九乗三為子得方四十之二十七也又如實七之二十母開得二又五之三化為五之一十三子開得九之四十此當用零分除零分法以一十三乗九為母以五乗四十為子得方一百一十七之二百也葢原實之母本法也原實之子則實也故右三例用法分别如此前零分篇中於開方法未詳兹乃盡其變云
長方以積與長廣較求長廣 法以四乗積并較實開方得長廣和和較相并半之得長相減半之得廣
長方以積與長廣和求長廣 法以四乗積減和實開方得長廣較 按四乗積者以四長方兩縱兩横列四隅合為大平方則四邊各兼長廣之數而中央不滿者正較自乗之小平方故知和實中有四積一較實也〈二法亦見句股章彼以八乗積者句股之積半長方積也〉右二法可該下文縱方七法而七法更不可不講者葢變化無窮之用出焉固非右二法所能及矣具詳於左
帶縱并方亷開平方法長方以積與較求廣者其長之積多於廣當加法以帶除其長積名帶縱并方亷開平方依常列實定開位以較為帶縱初開稍朒其商以帶縱并之為方法〈常法以方與商為一此以方與商為二〉乃以乗商減實再開倍前商亦以帶縱并之為亷法以除實得次商其隅法如常
假如長方積八百六十四列甲乙丙三位其長廣較一十二求廣者初商得二列甲左而以縱并商得三十二〈須知初商之二是二十故并縱得三十二也凡商與縱并者以十隨十以百隨百并之相減亦然〉為方法乃以方法乗商以三乗二得六〈此處只作二與三且勿論其為二十與三十可也〉於甲位減之〈依常法商二自乗當於甲位減今與方法三相乗亦同也〉則減甲八為二次以二乗二得四於乙位減之〈六於甲位減則四當於乙位減故初開而減及次開之亷位也〉則減乙六為二此初開也再開倍前商二得四并縱得五十二〈倍商是四十也 倍商不倍縱〉為亷法先以五除甲之二〈倍商之四當於乙位除因帶縱首之一而成五亦同除得次商當在甲位今甲位有實故以除乙之法除甲而次商仍在甲位非因五十而進一位也此五只作五若倍商四縱首六并成一十乃當進一位耳〉則改甲二為四為次商次以二乗四得八於丙位減之〈五於乙位除則二當於丙位除故亷法而減及隅位也〉則減乙二為一加丙四為六又以隅四自乗得一十六減乙丙兩位實盡得廣二十四〈并較得長三十六〉
又如實二十三萬零四百列甲乙丙丁戊己六位〈戊己為虚位〉帶縱七百二十初商得二〈若商三則并縱首之七為一十又與商乗得三十而實首只二十三不足除故用二〉列甲左〈不列甲位者帶縱故也〉而以縱并商得九百二十為方法乃以方法乗商以九乗二得一十八於甲乙兩位減之則去甲之二加乙三為五次以二乗二得四於丙位減之則減乙五為四加丙空為六此初開也再開倍前商二得四并縱得一千一百二十為亷法先以一除乙之四〈倍商之四當於丙位除因并縱首之七而成一十一則此一當進而於乙位除除得次商當在甲位矣初商不列甲位正為此也〉則去乙之四於甲空位列四為次商次以一乗四得四於丙位減之則減丙六為二次以二乗四得八於丁位減之則減丙二為一加丁四為六又以隅四自乗得一十六減丙丁實並盡得廣二百四十〈并較得長九百六十〉又如實一萬九千四百四十列甲乙丙丁戊五位帶縱七十二初商得一列甲左而以縱并商得一百七十二為方法乃以方法乗商以一乗一仍得一於甲位減之則去甲之一次七仍得七於乙位減之則減乙九為二次二仍得二於丙位減之則減丙四為二此初開也再開倍前商一得二并縱得二百七十二為亷法先以二除乙之二而其下實不足除知再開值空位矣〈倍商之二當於乙位除除得次商當在甲位今若去乙之二而列一於甲為次商即丙丁兩位無七與二可除當為見二無除改作九而下添二然則商乃在乙位矣既退一位知是三商非次商也〉三開倍前商一十得二十〈此一與二皆百也謂之十者依常法〉并縱得二百七十二為亷法仍先以二除乙之二〈倍商之二十當於丙位除乙位有實故以除丙之法除乙也〉則改乙二為九加丙二為四而其下實又不足除即又減乙九為八為三商而加丙四為六次以七乗八得五十六於丙丁兩位減之則去丙之六加丁四為八次以二乗八得一十六於丁戊兩位減之則減丁八為六加戊空為四又以隅八自乗得六十四減丁戊實並盡得廣一百零八〈并較得長一百八十〉
又如實一萬六千一百二十八列甲乙丙丁戊五位帶縱七十二此當減一開而實首取三位并開之〈若初商一則并縱得一百七十二而乙丙兩位無七與二可除也〉初商得九〈此當借列實首甲位〉而以縱并商得一百六十二為方法乃以方法乗商以一乗九得九於乙位減之〈初商之九當於丙位減因并縱首之七而成一十六則此一當進而於乙位減〉則去甲之一加乙六為七次以六乗九得五十四於乙丙兩位減之則減乙七為一加丙一為七次以二乗九得一十八於丙丁兩位減之則減丙七為五加丁二為四此初開也再開倍前商九得一十八并縱得二百五十二為亷法先以二除乙之一〈倍商之一十八當於丙丁兩位減并縱首七而成二十五其位亦同今乙位有實故以除丙之法除乙也〉則改乙一為五又以二除丙之五則於丙減二存三於乙加一為六為次商次以五乗六得三十於丙位減之則去丙之三次以二乗六得一十二於丁戊兩位減之則減丁四為三戊八為六又以隅六自乗得三十六減丁戊實並盡得廣九十六〈并較得長一百六十八〉
又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位帶縱一千零八十八初商得一〈初商是百而縱乃至千故只可用一〉列甲左而以縱并商得一千一百八十八為方法乃以方法乗商以一乗一仍得一於甲位減之〈方一百之一當於乙位減此是縱首一千之一故進一位〉則去甲之一次一仍得一於乙位減之則減乙六為五次八仍得八於丙位減之則減乙五為四加丙六為八次八仍得八於丁位減之則減丙八為七加丁四為六此初開也再開倍前商一得二并縱得一千二百八十八為亷法先以一除乙之四〈倍商之二當於丙位減此是縱首之一故進一位也下三開倣此〉則於乙減三存一於甲空位列三為次商次以二乗三得六於丙位減之則減丙七為一次以八乗三得二十四於丙丁兩位減之則去乙之一加丙一為九減丁六為二次以八乗三得二十四於丁戊兩位減之則去丁之二減戊六為二又以隅三自乗得九於丁位減之則減丙九為八加丁空為一此再開也三開倍前商一十三得二十六并縱得一千三百四十八為亷法先以一除丙之八則於丙減六存二於乙空位列六為三商次以三乗六得一十八於丙丁兩位減之則去丙之二加丁一為三次以四乗六得二十四於丁戊兩位減之則去丁之三加戊二為八次以八乗六得四十八於戊己兩位減之則減戊八為三加己四為六又以隅六自乗得三十六減戊己實並盡得廣一百三十六〈并較得長一千二百二十四〉
帶縱減積開平方法 長方積較求廣或於實内減長積以就其方名帶縱減積開平方列實定位以較為帶縱初開亦稍朒其商先以帶縱乗商減實乃以商自乗減實再開倍前商為亷法約計當得次商若干亦先以帶縱乗商減實乃以亷法除實合次商其隅法如常
假如長方積八百六十四列甲乙丙三位較一十二初商得二列甲左而先以縱乗商以一乗二得二於甲位減之〈此縱之一商之二皆十也依常法商二自乗於甲位減今以縱一乗商二亦同葢凡十與十百與百相乗皆於本位減必相乗又得十乃進一位若商係十而乗縱之百則當進一位商係百而乗縱之十則當退一位次商三商其理不殊各以所商應除之位為本位而進退之也負縱益積倣此〉則減甲八為六次以二乗二得四於乙位減之則減乙六為二乃以商二自乗得四於甲位減之則又減甲六為二此初開也再開倍前商二得四為亷法約計次商當得四〈約計減積之餘尚有商亷相乗及隅自乗之數也〉亦先以縱乗商以一乗四得四於乙位減之〈次商即再開之隅隅本位在丙然隅四只是四數而所與乗之縱一則是一十故進一位也若以比初開所除之位則為退一位至三開即比再開又退一位矣〉則減甲二為一加乙二為八次以二乗四得八於丙位減之則減乙八為七加丙四為六乃以亷四除甲之一則改甲一為二加乙七為九又以四除乙之九則於乙減八存一於甲加二為四為次商又以隅四自乗得一十六減乙丙實並盡得廣二十四
又如實一萬九千四百四十列甲乙丙丁戊五位帶縱七十二初商得一列甲左而先以縱乗商以七乗一仍得七於乙位減之則減乙九為二次二仍得二於丙位減之則減丙四為二乃以商一自乗得一於甲位減之則去甲之一此初開也再開倍前商一得二為亷法約計次商不足除知再開值空位〈乙位實二試擬一為次商而以縱首之七相乗當比初開退一位於丙位減之則丙實只有二必減及於乙而亷已不足除未暇論其他矣故知再開值空位也〉三開倍前商一十得二十為亷法約計三商當得八亦先以縱乗商以七乗八得五十六於丙丁兩位減之則減乙二為一加丙二為六丁四為八次以二乗八得一十六於丁戊兩位減之則減丁八為六加戊空為四乃以亷二除乙之一則改乙一為五又以二除丙之六則去丙之六於乙加三為八為三商又以隅八自乗得六十四減丁戊實並盡得廣一百零八 按積較求廣雖有二法只如一法耳前法并縱於方亷以除實此法分縱與方亷先後減實異而不異也分作兩度減固不如并作一度除之便然必備識諸法而後可以盡其變化之用不容廢云
負縱減方亷開平方法 長方以積與較求長者其廣之積少於長當損其法之長名負縱減方亷開平方列實定開位以較為負縱初開稍盈其商以負縱減之為方法乃以乗商減實再開倍前商亦以負縱減之為亷法以除實得次商其隅法如常 假如長方積八百六十四列甲乙丙三位較一十二求長者初商得三列甲左而以負縱減商得一十八為方法乃以方法乗商以一乗三得三於甲位減之則減甲八為五次以八乗三得二十四於甲乙兩位減之則減甲五為三乙六為二此初開也再開倍前商三得六減負縱得四十八為亷法先以四除甲之三則改甲三為七於乙加二為四而其下實不足除即又於甲減一存六為次商而於乙加四為八次以八乗六得四十八於乙丙兩位減之則減乙八為三加丙四為六又以隅六自乗得三十六減乙丙實並盡得長三十六〈減較得廣二十四〉
又如實一萬九千四百四十列甲乙丙丁戊五位負縱七十二初商得一列甲左而以負縱減商得二十八為方法乃以方法乗商以二乗一仍得二於乙位減之〈商係百而乗方之十故退一位也〉則減乙九為七次八仍得八於丙位減之則減乙七為六加丙四為六此初開也再開倍前商一得二減負縱得一百二十八為亷法先以一除甲之一則改甲一為九於乙加一為七而其下實不足除即又於甲減一存八為次商而於乙加一為八次以二乗八得一十六於乙丙兩位減之則減乙八為七去丙之六次以八乗八得六十四於丙丁兩位減之則減乙七為六加丙空為四去丁之四又以隅八自乗得六十四減乙丙實並盡得長一百八十〈減較得廣一百零八〉
負縱益積開平方法長方積較求長或益積以補廣而就其方名負縱益積開平方列實定位以較為負縱初開亦稍盈其商先以負縱乗商益實乃以商自乗減實再開倍前商為亷法約計當得次商若干亦先以負縱乗商益實乃以亷法除實合次商其隅法如常
假如長方積八百六十四列甲乙丙三位較一十二初商得三〈此當列甲左第二位因有益積故也初開畢不妨從甲左第二位移入甲左凡縱方諸例其商位每不可拘善算者自了然於心手之間耳〉而先以負縱乗商以一乗三得三於甲位加之則於甲左空位列一而減甲八為一次以二乗三得六於乙位加之則加甲一為二減乙六為二乃以商三自乗得九於甲位減之則去甲左之一加甲二為三此初開也再開倍前商三得六為亷法約計次商當得六亦先以負縱乗商以一乗六得六於乙位加之則加乙二為八次以二乗六得一十二於乙丙兩位加之則加乙八為九丙四為六乃以亷六除甲之三則改甲三為五又以六除乙之九則於乙減六存三於甲加一為六為次商又以隅六自乗得三十六減乙丙實並盡得長三十六又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位負縱一千零八十八此當增一開〈負縱至千而依實位初商只是百數無是理也〉初商得一列甲左第二位而先以負縱乗商以一乗一仍得一於甲左空位加之〈甲左空位是商千應除之本位也商千乗縱千當於本位加〉則列一於甲左次八仍得八於乙位加之則加甲一為二減乙六為四次八仍得八於丙位加之則加乙四為五減丙六為四乃以商一自乗得一於甲左空位減之則去甲左之一此初開也再開倍前商一得二為亷法約計次商當得二亦先以負縱乗商以一乗二得二於甲位加之則加甲二為四次以八乗二得一十六於乙丙兩位加之則加乙五為七去丙之四次以八乗二得一十六於丙丁兩位加之則加丙空為二去丁之四乃以亷二除甲之四則去甲之四於甲左空位列二為次商又以隅二自乗得四於乙位減之則減乙七為三此再開也三開倍前商一十二得二十四為亷法約計三商當得二亦先以負縱乗商以一乗二得二於乙位加之則加乙三為五次以八乗二得一十六於丙丁兩位加之則加丙二為三丁空為六次以八乗二得一十六於丁戊兩位加之則加丁六為八減戊六為二乃以亷二除乙之五則於乙減四存一於甲空位列二為三商次以四乗二得八於丙位減之則去乙之一加丙三為五又以隅二自乗得四於丁位減之則減丁八為四此三開也四開倍前商一百二十二得二百四十四為亷法約計四商當得四亦先以負縱乗商以一乗四得四於丙位加之則加丙五為九次以八乗四得三十二於丁戊兩位加之則加丁四為七戊二為四次以八乗四得三十二於戊己兩位加之則加戊四為七己四為六乃以亷二除丙之九則於丙減八存一於乙空位列四為四商次以四乗四得一十六於丙丁兩位減之則去丙之一減丁七為一次以四乗四得一十六於丁戊兩位減之則去丁之一減戊七為一又以隅四自乗得一十六減戊己實並盡得長一千二百二十四 按積較求長二法不同論負縱以并方亷為便而使負縱多初商少乃宜用益積也别擬取?之術凡負縱減商而商不足則以所負商數為負方〈亦可稱餘負縱也〉以負方乗商益積即初開畢矣自再開以後減亷固無礙耳
帶縱負隅益積開平方法 長方以積與和求廣者用和為帶縱〈此與用較為帶縱又别用較為帶縱者以縱并方亷而乗商減實用和為帶縱者直以縱乗商減實耳然且患縱多積少而須益積及減縱二法矣〉則已兼長廣而積有長廣相乗無廣自乗故置負隅法以益積而以帶縱開之名帶縱負隅益積開平方列實定開位以和為帶縱别置一算為負隅初開稍朒其商以乗負隅〈一為負隅則可不必置算亦不必乗而必言置算言乗者此法施之他處即負隅或不止於一也觀後各例自見〉為方法先以方法乗商益實乃以帶縱乗商減實再開倍前商以乗負隅為亷法約計當得次商若干以乗負隅為隅法先以亷法乗商益實又以隅法乗商〈隅乗商云者因有負隅之乗故又分隅與商為二也然負隅若止於一則直云商自乗或隅自乗亦可耳〉益實乃以帶縱除實合次商
假如長方積八百六十四列甲乙丙三位其長廣和六十求廣者初商得二〈此當列甲左第二位〉而以乗負隅仍得二為方法先以方二乗商二得四於甲位加之則於甲左空位列一而減甲八為二乃以縱六乗商二得一十二於甲左及甲兩位減之則去甲左之一甲之二此初開也再開倍前商二得四以乗負隅仍得四為亷法約計次商當得四以乗負隅仍得四為隅法先以亷四乗商四得一十六於甲乙兩位加之則加甲空為二減乙六為二又以隅四乗商四得一十六於乙丙兩位加之則加乙二為四去丙之四乃以縱六除甲之二〈以縱除與以亷除其位同此縱之六與亷之四皆十也以十隨十當於亷本位乙位除之除得次商當在甲位今甲位有實則甲乙同除也 至此宜將初商仍移入甲左矣〉則改甲二為三於乙加二為六又以六除乙之六則去乙之六於甲加一為四為次商得廣二十四
帶縱負隅減縱開平方法 長方積和求廣或減負隅於縱而以餘縱開之名帶縱負隅減縱開平方列實定位以和為帶縱别置一算為負隅初開亦稍朒其商以乗負隅為方法以方法減縱乃以餘縱乗商減實再開倍前商以乗負隅為亷法約計當得次商若干以乗負隅為隅法以亷法減縱又以隅法減縱乃以餘縱除實合次商
假如長方積八百六十四列甲乙丙三位和六十初商得二列甲左而以乗負隅仍得二為方法以方法減縱餘四十乃以縱四乗商二得八於甲位減之則去甲之八此初開也再開倍前商二得四以乗負隅仍得四為亷法約計次商當得四以乗負隅仍得四為隅法以亷法減縱餘二十又以隅法減縱餘一十六乃以縱一除乙之六則於乙減四存二於甲空位列四為次商次以六乗四得二十四減乙丙實並盡得廣二十四
又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位帶縱一千三百六十初商得一列甲左而以乗負隅仍得一為方法以方法減縱餘一千二百六十乃以縱乗商以一乗一仍得一於甲位減之則去甲之一次二仍得二於乙位減之則減乙六為四次六仍得六於丙位減之則去丙之六此初開也再開倍前商一得二以乗負隅仍得二為亷法約計次商當得三以乗負隅仍得三為隅法以亷法減縱餘一千一百六十又以隅法減縱餘一千一百三十乃以縱一除乙之四則於乙減三存... -->>
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