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;但是如果从Ｋ’（ｔ’＝０）拍取快照，而且如果我们从方程（５）消去ｔ考虑到表示式（６），我们得到：
由此我们推断，在ｘ轴上相隔距离１（相对于Ｋ）的两点，在我们的快照上将由距离：
（７ａ）
表示。
但是根据以上所述，这两个快照必须是全等的；因此（７）中的必须等于（７ａ）中的，这样我们就得到：
（７ｂ）
方程（６）和（７ｂ）决定常数ａ和ｂ。在（５）中代入这两个常数的值，我们得到第１１节所提出的第一个和第四个议程：
（８）
这样我们就得到了对于在ｘ轴上的洛伦兹变换。它满足条件：
（８ａ）
再把这个结果加以推广，以便将发生在ｘ轴外面的事件也包括进去。此项推广只要保留方程（８）并补充以关系式：
（９）
就能得到。
这样，无论对于坐标系Ｋ或是对于坐标系Ｋ’，我们都满足了任意方向的光线在真空中速度不变的公设。这一点可以证明如下。
设在时间ｔ＝０时从Ｋ的原点发出一个光信号。这个光信号将按照议程：
传播，或者，如果方程两边取平方，按照方程：
（１０）
传播。
光的传播定律结合着相对性公设要求所考虑的信号（从Ｋ’去判断）应用按照对应的公式：
或ｒ’＝ｃｔ’
（１０ａ）
传播为了 使 方程（１０ａ）可以从方程（１０）推出，我们必须有：
（１１）
由于方程（８ａ）对于ｘ轴上的点必须成立，因此我们有１＝σ，不难看出，对于１＝σ，洛伦兹变换确实满足（１１）；因为（１１）可以由（８ａ）和（９）推出，因而也可以由（８）和（９）推出。这样我们就导出了洛伦兹变换。
由（８）和（９）表示的洛伦兹变换仍需加以推广。显然，在选择Ｋ’的轴时是否要使之与Ｋ的轴在空间中相互平行是无关重要的。同时，Ｋ’相对于Ｋ的平动速度是否沿ｘ轴的方向也是无关紧要的。通过简单的考虑可以证明，我们能够通过两种变换建立这种广义的洛伦兹变换，这两种变换就是狭义的洛伦兹变换和纯粹的空间变换，纯粹的空间变换相当于用一个坐标轴指向其他方向的新的直角坐标系代换原有的直角坐标系。
我们可以用数学方法，对推广了的洛伦兹变换的特性作如下的描述：
推广了的洛伦兹变换就是用ｘ，ｙ，ｚ，ｔ的线性齐次函数来表示ｘ’，ｙ’，ｚ’，ｔ’，而这种线性齐次函数的性质又必须能使关系式：
（１１ａ）
恒等地被满足。也就是说：如果我们用这些ｘ，ｙ，ｚ，ｔ的线性齐次函数来代换在（１１ａ）左连所列的ｘ’，ｙ’，ｚ’，ｔ’，则（１１ａ）的左边与其右边完全一致。